计算电磁学的统一视角

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引言
: I7 B9 \. _' {计算电磁学(CEM)已成为分析和设计各种电磁系统的不可或缺工具，应用范围从天线和微波线路到无线通信和雷达系统。本文提供了CEM不同数值方法的基本原理的统一视角，强调了它们共同的数学框架和关系[1]。
9 t1 |# V) I9 P* Y3 `+ Y  }$ x
! h+ j- y& N0 k* [加权残差法：统一框架
$ M: M$ R+ R* X# Z3 t) t; D大多数CEM技术的核心是加权残差法(MWR)，允许我们通过将复杂电磁问题的解投影到简单的基函数上来近似求解。MWR过程包括两个关键步骤：

展开：未知解被近似为已知基函数的加权和。

残差最小化：通过强制近似解与精确解之间的误差(残差)与一组权重函数正交来最小化误差。
# O/ T) @9 K' I4 `8 _  L2 h% A, @9 l[/ol]
6 ~8 ], [" T5 [7 |1 O5 j数学上，可以将这个过程表示如下：
1 n' I$ \- N# B6 f" g7 u3 W
  E! ?9 ~; U* t: J: e" t考虑形式为以下的算子方程：
# i+ |0 t2 o  U. D4 I8 X& I
Lu(r, t) - g(r, t) = 0

9 ^6 }6 u, I% m0 ^; Z其中L是微分或积分算子，u(r, t)是未知解，g(r, t)是已知源项。
: ^" O. A4 O* w. x0 d4 m$ t
0 a2 r: l; G6 T2 W我们将解近似为：
/ V2 v( p( e  p" j( B  Q2 o
u(r, t) ≈ ?(r, t) = Σ(n=1 to N) an φn(r, t)
6 Q; s0 m9 h+ x2 y3 \  v* I- k
( S4 `+ o, V" F* ^8 `2 \6 K其中φn是基函数，an是未知系数。
* h4 I% `& h/ M+ r1 ^5 V7 x
! I8 p) I- J/ g. Z9 y然后残差误差为：
: L2 Z8 k  l- e
$ Q. D; p7 @% G4 FR(r, t) = L?(r, t) - g(r, t)

我们通过设置以下条件来最小化这个误差：
+ ^! V1 O/ q& Z& l# I
= 0
7 a( S7 B% p& H9 B9 _4 [5 u
其中w_m是权重函数，表示内积。

这个过程导致一个可以求解未知系数an的方程组。

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图1：Rooftop基函数(a)和由这些基函数求和形成的近似解(b)的图示。

  \6 |7 `0 W1 P/ t内积空间和收敛性
3 L  {  W1 h- j: S; BMWR框架重度依赖于内积空间的概念。这些是具有满足某些性质（如线性和正定性）的内积运算的函数空间。内积的选择可以显著影响数值方法的性能和稳定性。
/ E* r; I5 \* J" e; V8 y
+ Z2 ?' P- @8 l任何CEM技术的一个关键考虑因素是收敛性 - 随着我们增加基函数的数量，我们的近似解接近精确解的程度如何？虽然证明一般情况下的收敛性可能具有挑战性，但我们通常可以推导出在实践中用于检查收敛性的特定条件。

收敛的一个必要条件是展开系数an必须有界：
% S& v. X/ s( M& {5 ]1 F
|an|
1 t& H/ C1 W+ i3 ~; o
频域方法
许多CEM技术在频域中操作，求解时谐麦克斯韦方程。一些流行的频域方法包括：

1. 有限差分法
4 k8 ~6 W% R6 i- U$ k8 T3 o有限差分法使用离散差分方程近似导数。在MWR框架中，这可以被视为使用Rooftop函数作为基函数和狄拉克δ函数作为权重函数。

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4 q- I2 t3 G2 M% c5 ^图2：Rooftop基函数导数(a)和试验函数导数(b)的图示。
) x+ N' F2 U, p* u5 n/ U
! ~& S- T1 I+ |4 I2. 有限元法(FEM)
FEM将问题域划分为小元素，通常是三角形或四面体。在每个元素内，解使用形状函数近似。FEM的MWR公式通常使用这些相同的形状函数作为基函数和权重函数（伽辽金方法）。

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图3：有限元法中二维域划分为三角形元素的示意图。
, x. P1 D2 n3 Q4 ?! y* p( R
3 F; i# e# A" ?" L3 h* G- A" F3. 矩量法(MoM)
+ h3 E: h! E& ]4 C' l* e1 B: y7 yMoM特别适合求解积分方程，使用一组基函数来展开未知量（通常是电流密度）和一组权重函数来强制边界条件。
- r1 w% X: e0 w4 W" ]' P6 o
# S: y4 _7 k* z3 {' l1 h( D" R3 A: ?4. 积分方程法
9 F) H8 V) E" ^0 ]这些方法使用麦克斯韦方程的积分形式来求解场量或电流/电荷分布，对于开放边界问题特别有用。
1 B# I' W7 b  o: X

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图4：带有单位电势的带电带状体示例，经常用于说明积分方程方法。

5. 谱域方法
这种技术在空间频率域中求解电磁问题，使其特别适合于平面结构，如微带线。

( [3 Z+ s3 j, }3 X6. 无网格方法
与传统的基于网格的方法不同，无网格方法使用一组散布的节点来表示问题域。基函数与这些节点相关联，而不是与固定网格相关联。

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/ y* ]$ t9 e% K! ]; d$ z! |2 a图5：无网格方法中使用的支持域和周围节点的图示。

时域方法
1 n' A/ n( v' q( H* j/ _频域方法很强大，但许多问题更自然地在时域中求解。时域技术直接模拟电磁场的时间演化。一些关键的时域方法包括：

1. 有限差分时域(FDTD)方法
, s2 [0 q4 G  }7 O  K7 l/ NFDTD同时离散化空间和时间，使用中心差分近似麦克斯韦方程中的空间和时间导数。可以通过在空间和时间中使用脉冲函数从MWR框架推导出来。

! n: S9 |( a: V( E" Z2. 传输线矩阵(TLM)方法
- }; O8 Z( ^3 v: Z- q. g% V. j; HTLM使用与传输线的类比来模拟波传播。将空间离散化为传输线段网络，通过跟踪在这个网络中传播的电压脉冲来模拟波传播。

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! G' [5 H# W: l% s; |图6：(a) 2D和(b) 3D传输线矩阵(TLM)模型的图示。

3. 时域有限元法(TD-FEM)
TD-FEM结合了FEM的空间离散化和时间步进方案来求解时变麦克斯韦方程。

' P8 j" D8 a0 N! e# B- V4. 时域积分方程(TDIE)方法
这些方法求解积分方程的时域版本，通常使用时间步进(MOT)方案在离散时间步骤中推进解。

0 o: F( Z/ n: ^3 T& h5. 时域无网格方法
无网格方法也可以扩展到时域问题，在节点放置上提供灵活性，无需结构化网格。

+ f( Q0 w8 M; j2 m) ?& N. W8 M2 L2 ?9 h统一视角和关系
7 S' E" }0 q2 w- G3 ^通过MWR的视角来看待所有这些方法，我们可以理解它们的相似性和差异：

基函数和权重函数的选择在很大程度上决定了每种方法的特性。

频域和时域方法通常密切相关，时域方法本质上是在每个时间步长求解一系列频域问题。

许多方法可以被视为更一般方法的特殊情况。例如，FEM和有限差分方法可以通过特定的节点排列和基函数推导为无网格方法的特殊情况。
+ F' L) {0 ?  ?* n0 O& s, l

/ }* A0 P3 q; ]! n7 ~3 P

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; R8 |# Y0 C/ ?7 i2 ]图7：图示展示了基于节点的无网格方法如何通过特定的节点排列演变成有限元方法（中）和有限差分方法（下）。
# R- i# T: y! s6 \+ W
数值色散和误差分析
任何CEM技术的一个关键方面是理解其准确性和限制。一个常见的问题是数值色散，其中模拟的波传播特性与真实物理行为不同。这可以通过检查方法在谱域中的色散关系来分析。

1 N- e) c) [9 c/ S/ c' |8 E例如，FDTD方法具有以下数值色散关系：

( y* a% o  ?1 y& H0 j6 \[sin(kx Δx/2)/Δx]^2 + [sin(ky Δy/2)/Δy]^2 + [sin(kz Δz/2)/Δz]^2 = [sin(ωΔt/2)/(cΔt)]^2
: a) b* W9 `5 {6 W1 `1 U
其中kx、ky、kz是波数，Δx、Δy、Δz是空间离散化步长，Δt是时间步长，c是光速。

随着离散化变得更细，这个关系接近连续电磁学的理想球面色散关系，但对于较粗的网格会偏离。
( q) T% x& l. i; I9 P
结论
本文提出的计算电磁学统一视角，以加权残差法为中心，为理解和开发数值技术提供了强大的框架。通过认识各种方法的共同数学基础，研究人员和工程师可以：

根据给定问题的特性和要求选择最合适的方法。

开发结合不同方法优点的混合技术。

分析和改进数值算法的准确性、稳定性和效率。

探索新的公式和基函数来解决具有挑战性的电磁问题。
4 O# g# z8 E) H9 g1 |. |[/ol]
3 j2 S8 X) Z7 u; D/ s8 g8 |0 K0 S随着计算电磁学领域的不断发展，这种统一的视角对于推动电磁仿真和设计的可能性边界将是很重要的。未来的研究方向可能包括：

开发针对特定问题类型的更高效基函数。

探索机器学习技术来增强传统CEM方法。

推进将电磁学与其他物理现象耦合的多物理场仿真。

改进并行计算策略以处理更大、更复杂的系统。
, Y7 ?6 r" ?: [
: S7 F+ t( ~. N( ^+ {通过理解统一各种CEM技术的基本原理，研究人员和从业者可以继续创新并扩展电磁建模和仿真的能力。

5 d7 f. w5 ^* L8 X6 `7 q- ?参考文献
[1] Z. Chen, C. Wang and W. J. R. Hoefer, "A Unified View of Computational Electromagnetics," in IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 70, no. 2, pp. 955-969, Feb. 2022, doi: 10.1109/TMTT.2021.3138911.
4 V0 u0 ]; b/ W2 E, H/ d/ C
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