ADC重要的信噪比公式是怎么来的？

硬件电子工程师

做过数据采集或者模拟电路的同学很可能知道下面这个关于ADC信噪比的著名公式：

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其中N是ADC的位数，比如对于一个10bit的ADC，N=10，当ADC采集一个满量程的正弦波时，那么信噪比SNR=6.02*10+1.76=61.96dB，那么这个公式是怎么来的呢？
0 K9 n# I; A8 E6 q/ mADC量化噪声
下图是理想ADC的量化噪声示意图，从下图可以看到，对于一个线性输入的模拟信号，ADC会产生台阶式的输出，这个输入和输出的误差波形近似于一个峰峰值q=1LSB的锯齿波，它的有效值RMS计算过程见公式(2)（q=1LSB），LSB计算过程见公式(3)，其中FS是ADC的输入电压范围，。

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SNR
- Z" o' h& A2 A' F+ V4 M8 D以前的文章介绍过SNR计算过程，信噪比是信号的有效值（RMS）除以噪声的有效值（RMS），

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: E; o8 r# n( `. z
; [  @) m# H, K对于一个满量程输入的正弦信号见公式(5)，根据公式(5)可以求得公式(6)，

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对于满量程ADC而言，其输入范围是0-FS，那么输入的正弦信号的幅度范围就是0-Fs/2，见下图示意图，因此公式(5)中的分母是2
  x8 H5 [: s- f1 z' n& G( T

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% q2 l3 J8 v% ?: kADC信噪比SNR与位数N
那么到目前为止，我们知道了信号的有效值（RMS），即公式(6)，也知道了ADC量化噪声的有效值（RMS），即公式(2)。把公式(6)和公式(2)带入公式(4)得到公式(7)：
: w+ ^0 m- S% @0 Z. D

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5 x5 Z; n# C& S) P  o+ J& ^6 t. Y公式(7)不够简化，我们继续化简（高中学的指数运算规则），可以得到公式(8)，

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4 P9 `5 V* d( Y+ c. B3 ]5 u* e由此我们就推导出了ADC位数N与信噪比SNR的关系，是不是和公式(1)一模一样？
3 |- E+ i3 g7 l: C  I( @多说几句
上式的成立条件是信号带宽比较高。
如果信号带宽（或者说频率）很低，低于奈奎斯特采样频率fs/2，那么这会导致信号带宽范围内的噪声减小，进而使得SNR增加。
这就是常说的过采样，详细内容后面后机会在介绍。
另一点值得说明的是，在评估噪声时，常用到频谱分析，频谱的本底噪声值与采样点数量有关。
8 e. C4 n! u) P. u+ t+ J如果采样点多，那么本底噪声就会低，如果采样点数量减小，那么本底噪声就会增加，这被称为FFT增益。
因此在噪声分析时，最好要自始至终使用相同数量的采样点进行分析，避免被不正确的评估方法误导。