|
发表于 2017-1-9 22:37:40
|
显示全部楼层
/ O C, c2 Q- A- W. I* d {
4. 如何设计系统?( [+ {0 ?7 V' R3 A }) @
4 E; d' j% w+ ~* Z
设计物理上的系统函数(连续的或离散的状态),有输入,有输出,而中间的处理过程和具体的物理实现相关,不是这们课关心的重点(电子电路设计?)。信号与系统归根到底就是为了特定的需求来设计一个系统函数。设计出系统函数的前提是把输入和输出都用函数来表示(例如sin(t))。分析的方法就是把一个复杂的信号分解为若干个简单的信号累加,具体的过程就是一大堆微积分的东西,具体的数学运算不是这门课的中心思想。
0 d2 o9 ?6 q" U* }1 `& P
6 d& n. ^+ k3 m: `那么系统有那些种类呢?
5 N" H, i2 Y* K# j3 e1 T6 k9 `) v* [: j) J
(a) 按功能分类: 调制解调(信号抽样和重构),叠加,滤波,功放,相位调整,信号时钟同步,负反馈锁相环,以及若干子系统组成的一个更为复杂的系统----你可以画出系统流程图,是不是很接近编写程序的逻辑流程图? 确实在符号的空间里它们没有区别。还有就是离散状态的数字信号处理(后续课程)。9 R. J+ W* b1 ]* a+ P2 a
; F( D) u3 V" S" k
(b) 按系统类别划分,无状态系统,有限状态机,线性系统等。而物理层的连续系统函数,是一种复杂的线性系统。
Y+ Q9 G4 M' w8 R, |2 q1 [
% U/ e0 m' k! ~& b& Y! j" V5. 最好的教材? @' P' g! ~0 v+ Q. x
+ T3 m0 [8 i# G5 }2 E' F! G7 m3 H+ ]符号系统的核心是集合论,不是微积分,没有集合论构造出来的系统,实现用到的微积分便毫无意义----你甚至不知道运算了半天到底是要作什么。以计算机的观点来学习信号与系统,最好的教材之一就是<<Structure and Interpretationof Signals and Systems>>, 作者是UC Berkeley的Edward A.Leeand Pravin Varaiya----先定义再实现,符合人类的思维习惯。国内的教材通篇都是数学推导,就是不肯说这些推导是为了什么目的来做的,用来得到什么,建设什么,防止什么;不去从认识论和需求上讨论,通篇都是看不出目的的方法论,本末倒置了。
6 b3 i3 h/ g4 N; w0 C! M; s6 m# [/ g8 i. _- H
第三课:抽样定理是干什么的?1 X! B3 r2 r" M* W3 ~! J
! S( d, [- J0 Y" i. X8 p$ j
1. 举个例子,打电话的时候,电话机发出的信号是PAM脉冲调幅,在电话线路上传的不是话音,而是话音通过信道编码转换后的脉冲序列,在收端恢复语音波形。那么对于连续的说话人语音信号,如何转化成为一些列脉冲才能保证基本不失真,可以传输呢? 很明显,我们想到的就是取样,每隔M毫秒对话音采样一次看看电信号振幅,把振幅转换为脉冲编码,传输出去,在收端按某种规则重新生成语言。
5 d; ` q& G, g, m, R1 n" f( f
* f4 I! b Z* _, ]! ^那么,问题来了,每M毫秒采样一次,M多小是足够的? 在收端怎么才能恢复语言波形呢?
9 _& o( g4 W7 d. y$ j
. H f8 }) n: T对于第一个问题,我们考虑,语音信号是个时间频率信号(所以对应的F变换就表示时间频率)把语音信号分解为若干个不同频率的单音混合体(周期函数的复利叶级数展开,非周期的区间函数,可以看成补齐以后的周期信号展开,效果一样),对于最高频率的信号分量,如果抽样方式能否保证恢复这个分量,那么其他的低频率分量也就能通过抽样的方式使得信息得以保存。如果人的声音高频限制在3000Hz,那么高频分量我们看成sin(3000t),这个sin函数要通过抽样保存信息,可以看为: 对于一个周期,波峰采样一次,波谷采样一次,也就是采样频率是最高频率分量的2倍(奈奎斯特抽样定理),我们就可以通过采样信号无损的表示原始的模拟连续信号。这两个信号一一对应,互相等价。- A( H: s' G! X' r. O( N' e
! {& d h# ? y) E: {$ f对于第二个问题,在收端,怎么从脉冲序列(梳装波形)恢复模拟的连续信号呢? 首先,我们已经肯定了在频率域上面的脉冲序列已经包含了全部信息,但是原始信息只在某一个频率以下存在,怎么做? 我们让输入脉冲信号I通过一个设备X,输出信号为原始的语音O,那么I(*)X=O,这里(*)表示卷积。时域的特性不好分析,那么在频率域 F(I)*F(X)=F(O)相乘关系,这下就很明显了,只要F(X)是一个理想的,低通滤波器就可以了(在F域画出来就是一个方框),它在时间域是一个钟型函数(由于包含时间轴的负数部分,所以实际中不存在),做出这样的一个信号处理设备,我们就可以通过输入的脉冲序列得到几乎理想的原始的语音。在实际应用中,我们的抽样频率通常是奈奎斯特频率再多一点,3k赫兹的语音信号,抽样标准是8k赫兹。
& P f$ _8 g: n" D1 C y0 M+ @+ ?8 q% Q( H: O
2. 再举一个例子,对于数字图像,抽样定理对应于图片的分辨率----抽样密度越大,图片的分辨率越高,也就越清晰。如果我们的抽样频率不够,信息就会发生混叠----网上有一幅图片,近视眼戴眼镜看到的是爱因斯坦,摘掉眼睛看到的是梦露----因为不带眼睛,分辨率不够(抽样频率太低),高频分量失真被混入了低频分量,才造成了一个视觉陷阱。在这里,图像的F变化,对应的是空间频率。
1 O1 p& @$ p% R. u( ~, T/ t3 `7 @4 N4 M: x4 i' }4 L
话说回来了,直接在信道上传原始语音信号不好吗? 模拟信号没有抗干扰能力,没有纠错能力,抽样得到的信号,有了数字特性,传输性能更佳。
4 r2 l5 H i- Z7 M! d
, M* }2 s( `. b, g& Y1 m/ Q/ S什么信号不能理想抽样? 时域有跳变,频域无穷宽,例如方波信号。如果用有限带宽的抽样信号表示它,相当于复利叶级数取了部分和,而这个部分和在恢复原始信号的时候,在不可导的点上面会有毛刺,也叫吉布斯现象。, x2 i3 g/ k! c0 @) _8 d
# P- s) a5 f1 y @- e1 x: E
3. 为什么傅立叶想出了这么一个级数来? 这个源于西方哲学和科学的基本思想: 正交分析方法。例如研究一个立体形状,我们使用x,y,z三个互相正交的轴: 任何一个轴在其他轴上面的投影都是0。这样的话,一个物体的3视图就可以完全表达它的形状。同理,信号怎么分解和分析呢? 用互相正交的三角函数分量的无限和:这就是傅立叶的贡献。
, R) ] w' A9 U
, D* ^# y& P8 h0 @1 q& Z第四课:傅立叶变换的复数小波
! ^' B. F: \% ~4 E
& G* S0 Z7 q5 |- l7 r1 V$ e6 y说的广义一点,"复数"是一个"概念",不是一种客观存在。
+ _2 ?1 H; `) v! q. r6 x7 i/ z
& b, z) l/ K/ Q" v7 ]什么是"概念"? 一张纸有几个面? 两个,这里"面"是一个概念,一个主观对客观存在的认知,就像"大"和"小"的概念一样,只对人的意识有意义,对客观存在本身没有意义(康德: 纯粹理性的批判)。把纸条的两边转一下相连接,变成"莫比乌斯圈",这个纸条就只剩下一个"面"了。概念是对客观世界的加工,反映到意识中的东西。' d1 [4 L5 |' o. q
7 t# k& h# s! o" _$ |1 L; ^; D
数的概念是这样被推广的: 什么数x使得x^2=-1? 实数轴显然不行,(-1)*(-1)=1。那么如果存在一个抽象空间,它既包括真实世界的实数,也能包括想象出来的x^2=-1,那么我们称这个想象空间为"复数域"。那么实数的运算法则就是复数域的一个特例。为什么1*(-1)=-1? +-符号在复数域里面代表方向,-1就是"向后,转!"这样的命令,一个1在圆周运动180度以后变成了-1,这里,直线的数轴和圆周旋转,在复数的空间里面被统一了。
+ Y# W: Y2 u3 V0 E! G
$ d1 J8 E" f8 t3 H, N# N# M' R因此,(-1)*(-1)=1可以解释为"向后转"+"向后转"=回到原地。那么复数域如何表示x^2=-1呢? 很简单,"向左转","向左转"两次相当于"向后转"。由于单轴的实数域(直线)不包含这样的元素,所以复数域必须由两个正交的数轴表示--平面。很明显,我们可以得到复数域乘法的一个特性,就是结果的绝对值为两个复数绝对值相乘,旋转的角度=两个复数的旋转角度相加。高中时代我们就学习了迪莫弗定理。为什么有这样的乘法性质?不是因为复数域恰好具有这样的乘法性质(性质决定认识),而是发明复数域的人就是根据这样的需求去弄出了这么一个复数域(认识决定性质),是一种主观唯心主义的研究方法。为了构造x^2=-1,我们必须考虑把乘法看为两个元素构成的集合:乘积和角度旋转。8 ?( h" }8 ?* L1 c- k2 v- \
; z" _9 ~* d9 O$ }, G/ ?因为三角函数可以看为圆周运动的一种投影,所以,在复数域,三角函数和乘法运算(指数)被统一了。我们从实数域的傅立叶级数展开入手,立刻可以得到形式更简单的,复数域的,和实数域一一对应的傅立叶复数级数。因为复数域形式简单,所以研究起来方便----虽然自然界不存在复数,但是由于和实数域的级数一一对应,我们做个反映射就能得到有物理意义的结果。, R- a9 [, p9 p
* g% T1 Z; _ Q* c \; g, y那么傅立叶变换,那个令人难以理解的转换公式是什么含义呢? 我们可以看一下它和复数域傅立叶级数的关系。什么是微积分,就是先微分,再积分,傅立叶级数已经作了无限微分了,对应无数个离散的频率分量冲击信号的和。傅立叶变换要解决非周期信号的分析问题,想象这个非周期信号也是一个周期信号: 只是周期为无穷大,各频率分量无穷小而已(否则积分的结果就是无穷)。那么我们看到傅立叶级数,每个分量常数的求解过程,积分的区间就是从T变成了正负无穷大。而由于每个频率分量的常数无穷小,那么让每个分量都去除以f,就得到有值的数----所以周期函数的傅立叶变换对应一堆脉冲函数。同理,各个频率分量之间无限的接近,因为f很小,级数中的f,2f,3f之间几乎是挨着的,最后挨到了一起,和卷积一样,这个复数频率空间的级数求和最终可以变成一个积分式:傅立叶级数变成了傅立叶变换。注意有个概念的变化:离散的频率,每个频率都有一个"权"值,而连续的F域,每个频率的加权值都是无穷小(面积=0),只有一个频率范围内的"频谱"才对应一定的能量积分。频率点变成了频谱的线。9 `2 P% D6 p$ b- Z* v7 I
+ b& g1 l7 f$ N9 Z3 O因此傅立叶变换求出来的是一个通常是一个连续函数,是复数频率域上面的可以画出图像的东西?那个根号2Pai又是什么? 它只是为了保证正变换反变换回来以后,信号不变。我们可以让正变换除以2,让反变换除以Pi,怎么都行。 |
|